Calcular ramas parabólicas

Consideraciones previas

Una rama infinita de una función es rama parabólica cuando no existe asíntota oblicua y se cumple que:

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$$

Consulta la teoría asociada para profundizar en su estudio.

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x^3+4}{x}}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3+4}{x}=\infty$$

Como el grado del numerador (3) es dos unidades superior al del denominador (1), no hay asíntota oblicua. Estudiando f(x)/x nos queda:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{x^3+4}{x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3+4}{x^2}=\infty$$

Haciendo el estudio propio en menos infinito nos queda:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^3+4}{x}=\infty \Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{x^3+4}{x}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x^3+4}{x^2}=-\infty$$

Por tanto, tenemos dos ramas parabólicas de eje vertical, una en infinito y otra en menos infinito.

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\ln \left(x+3\right)}$$

En este caso tenemos:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\ln \left(x+3\right)=\infty$$

Estudiando f(x)/x:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left(x+3\right)}{x}\underset{\text{Por comparación de ∞}}{=}0$$

Por tanto, hay una rama parabólica de eje horizontal en infinito. Estudiando la función por la izquierda (en menos infinito), tenemos que no existe:

$$\nexists \underset{x\to -\infty }{\lim }\ln \left(x+3\right)$$

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=x+\sqrt{x}}$$

Comenzamos estudiando la función por la derecha, en infinito:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x+\sqrt{x}\right)=\infty$$

Estudiando f(x)/x:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{\sqrt{x}}{\infty }\right)=1=m$$

Finalmente:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)-m·x=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x+\sqrt{x}-1·x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x}=\infty$$

Con lo que estamos ante una rama parabólica de eje oblicuo en más infinito. Por la izquierda no hay rama, al no haber función:

$$\nexists \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+\sqrt{x}\right)$$