Derivadas de productos y cocientes

Consideraciones previas

Utilizaremos la tabla de derivadas vistas en teoría. También las derivadas de operaciones con funciones, sobre todo para el caso de la multiplicación y división de funciones, pero también para la suma y la resta. Recuerda que:

$$\begin{gathered} D\left(u·v\right)=u\text{'}v+u·v\text{'} \\ D\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2} \end{gathered}$$

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=x^3·\cos \left(x\right)}$$

Considerando u=x³ y v=cos(x) nos queda u'=3x² y v'=-sin(x), con lo que:

$$f\text{'}\left(x\right)=3x^2\cos \left(x\right)+x^3\left(-\sin \left(x\right)\right)=3x^2\cos \left(x\right)-x^3\sin \left(x\right)$$

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{2x^2-1}{x^3-x}}$$

En este caso tenemos un cociente, siendo:

$$f\left(x\right)=\frac{u}{v} ;\hspace{0.17em}\begin{array}{c}u=2x^2-1\Rightarrow u\text{'}=4x\\ v=x^3-x\Rightarrow v\text{'}=3x^2-1\end{array}$$

Aplicando la expresión para la derivada del cociente nos queda:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{4x·\left(x^3-x\right)-\left(3x^2-1\right)·\left(2x^2-1\right)}{{\left(x^3-x\right)}^2}=\frac{4x^4-4x^2-6x^4+3x^2+2x^2-1}{x^6+x^2-2x^4}=\frac{-2x^4+x^2-1}{x^6+x^2-2x^4}$$

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\left(\sin \left(x\right)-2x+2\right)\cos \left(x\right)}$$

Seguimos el mismo procedimiento que hasta ahora:

$$\begin{array}{c}u=\sin \left(x\right)-2x+2\Rightarrow u\text{'}=\cos \left(x\right)-2\\ v=\cos \left(x\right)\Rightarrow v\text{'}=-\sin \left(x\right)\end{array}$$

Con lo que nos queda...

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2}=\frac{\left(\cos \left(x\right)-2\right)·\cos \left(x\right)-\left(\sin \left(x\right)-2x+2\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)}{{\left(-\sin \left(x\right)\right)}^2}=\frac{{\cos }^2\left(x\right)-2\cos \left(x\right)+{\sin }^2\left(x\right)-2x\sin \left(x\right)+2\sin \left(x\right)}{{\sin }^2\left(x\right)}= \\ \stackrel{\left[1\right]}{=}\frac{1+2\sin \left(x\right)\left(1-2x\right)-2\cos \left(x\right)}{{\sin }^2\left(x\right)} \end{gathered}$$

En [1] hemos aplicado que ${\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1$

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=x^3·e^{-x}}$$

Siendo...

$$\begin{array}{c}u=x^3\Rightarrow u\text{'}=3x^2\\ v=e^{-x}=\frac{1}{e^x}\end{array}$$

En este caso, para el cálculo de v' (sin usar la regla de la cadena) debemos volver a considerar un cociente de otras dos funciones:

$$v=\frac{1}{e^x}\Rightarrow \begin{array}{c}m=1\Rightarrow m\text{'}=0\\ n=e^x\Rightarrow n\text{'}=e^x\end{array}\Rightarrow v\text{'}=\frac{m\text{'}n-mn\text{'}}{n^2}=\frac{-e^x}{{\left(e^x\right)}^2}=\frac{-1}{e^x}$$

Quedándonos finalmente:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{3x^2}{e^x}}-\left(\frac{-1}{e^x}\right)x^3}{{\left(\frac{1}{e^x}\right)}^2}=\frac{{\displaystyle \frac{3x^2+x^3}{\cancel{e^x}}}}{{\displaystyle \frac{1}{{\left(e^x\right)}^{\cancel{2}}}}}=e^x·\left(3x^2+x^3\right)$$

Como puedes observar, la mecánica es la misma, aunque a veces las derivadas de las funciones integrantes de f pueden ser más laboriosas por implicar a su vez otros productos o cocientes de funciones.

5.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)}{\tan \left(x\right)}}$$

De nuevo se trata de un cociente de dos funciones. La derivada del numerador es sencilla, al ser una suma de dos funciones trigonométricas cuyas derivadas conocemos. Pero en el caso del denominador tenemos que aplicar la propia definición de tangente (es el cociente del seno y del coseno), para obtener su derivada... En definitiva:

$$\begin{array}{c}u=\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\Rightarrow u\text{'}=\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\\ v=\tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}=\frac{m}{n}\Rightarrow v\text{'}=\frac{m\text{'}n-mn\text{'}}{n^2}\Rightarrow v\text{'}=\frac{{\cos }^2\left(x\right)+{\sin }^2\left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}=\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}\end{array}$$

...quedando:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\right)\tan \left(x\right)-\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}}{{\tan }^2\left(x\right)}$$

6

$$\boxed{f\left(x\right)=\sin \left(x\right)·\ln \left(x\right)·e^x}$$

En este caso es evidente que se trata de un producto de tres funciones. Para resolverlo agrupamos dos cualesquiera, y una, y aplicamos la regla del producto de derivadas. Para derivar aquella que es producto de otras dos, tendremos que aplicar a su vez la regla del producto. Una posibilidad es:

$$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)·\ln \left(x\right)·e^x\Rightarrow \begin{array}{c}u=\sin \left(x\right)\Rightarrow u\text{'}=\cos \left(x\right)\\ v=\ln \left(x\right)·e^x\Rightarrow v\text{'}=\frac{1}{x}{e}^x+e^x·\ln \left(x\right)\end{array}$$

Ahora observa bien:

$$f\text{'}\left(x\right)=\cos \left(x\right)·\ln \left(x\right)·e^x+\left(\frac{1}{x}{e}^x+e^x·\ln \left(x\right)\right)\sin \left(x\right)=e^x\left(\cos \left(x\right)·\ln \left(x\right)+\sin \left(x\right)\left(\frac{1}{x}+\ln \left(x\right)\right)\right)$$

Este mismo proceso se aplica cuando tenemos que derivar productos de más de 3 funciones.

7

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{3^x{x}^2}{{\log }_2\left(x\right)}}$$

En este caso tenemos un cociente de dos funciones, con una función en el denominador compuesta a su vez por un producto de otras dos... Siguiendo un procedimiento similar al seguido hasta ahora, nos queda:

$$f\left(x\right)=\frac{3^x{x}^2}{{\log }_2\left(x\right)}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \left(3^x\ln \left(3\right)x^2+2x·3^x\right)}{\displaystyle ·}{\log }_2\left(x\right){\displaystyle -}{\displaystyle \frac{{\log }_2\left(e\right)}{x}}{\displaystyle {{\displaystyle 3}}^x}{\displaystyle {{\displaystyle x}}^2}}{{\displaystyle {{\log }_2}^2}\left(x\right)}$$