Ángulo de elevación en tiro parabólico

Enunciado

dificultad

Determina el ángulo respecto a la horizontal con el que hay que lanzar un balón para que entre a la portería rozando el palo superior, situado a una altura de 2.45 m y a 9 m del punto de lanzamiento. El balón es lanzado a una velocidad de 82 km/h. Ten en cuenta que el balón debe encontrarse en el punto más alto de su trayectoria para que entre rozando el palo superior de la portería.

Solución

Datos

Valor de la velocidad inicial del movimiento v₀ = 82 km/h = 22.78 m/s
Altura de la portería (altura final) y = 2.45 m
Distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y la portería (distancia final) x = 9 m

Consideraciones previas

Se trata de un movimiento parabólico. El movimiento parabólico es una composición de dos movimientos:
- movimiento rectilíneo uniforme en el eje x
- movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el eje y
El vector velocidad inicial se puede escribir como:

${\vec{v}}_{0} = v_{0 x} \cdot \vec{i} + v_{0 y} \cdot \vec{j} = v_{0} \cdot \cos (α) \cdot \vec{i} + v_{0} \cdot \sin (α) \cdot \vec{j}$

$α$ es justamente el ángulo pedido
El balón entra en la portería en el punto más alto de la trayectoria, es decir, cuando v_y = 0
Consideramos el valor de la gravedad g = 9.8 m/s²

Resolución

La ecuación de posición en el movimiento parabólico viene dada por la expresión:

$\vec{r} (t) = (v_{0 x} \cdot t) \cdot \vec{i} + (v_{0 y} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}) \cdot \vec{j} = (v_{0} \cdot \cos (α) \cdot t) \cdot \vec{i} + (v_{0} \cdot \sin (α) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}) \cdot \vec{j}$

El vector velocidad viene dado por la expresión

$\vec{v} (t) = v_{0 x} \cdot \vec{i} + (v_{0 y} - g \cdot t) \cdot \vec{j} = v_{0} \cdot \cos (α) \cdot \vec{i} + (v_{0} \cdot \sin (α) - g \cdot t) \cdot \vec{j}$

Cuando el balón entra por la portería se cumple que:

${\vec{r}}_{f} = 9 \cdot \vec{i} + 2.45 \cdot \vec{j}; {\vec{v}}_{f} = v_{0 x} \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j}$

Si igualamos las expresiones de la ecuación de posición y de velocidad a los vectores anteriores, podemos utilizar la componente y de la velocidad v_y y la componente x del vector de posición r_x para determinar el ángulo de lanzamiento:

$\{\begin{cases} 0 = v_{0} \cdot \sin (α) - g \cdot t \\ 9 = v_{0} \cdot \cos (α) \cdot t \end{cases} \{\begin{cases} 0 = v_{0} \cdot \sin (α) - g \cdot t \\ t = \frac{9}{v_{0} \cdot \cos (α)} \end{cases} \{\begin{cases} 0 = v_{0} \cdot \sin (α) - g \cdot \frac{9}{v_{0} \cdot \cos (α)} \\ t = \frac{9}{v_{0} \cdot \cos (α)} \end{cases} \Rightarrow \Rightarrow g \cdot \frac{9}{v_{0} \cdot \cos (α)} = v_{0} \cdot \sin (α) \Rightarrow 88.2 = {22.78}^{2} \cdot \sin (α) \cdot \cos (α)$

Ahora es necesario que recordemos la siguiente igualdad trigonométrica para poder resolver la ecuación:

$\sin (α) \cdot \cos (α) = \frac{\sin (2 α)}{2}$

A partir de ella resolvemos:

$88.2 = {22.78}^{2} \cdot \sin (α) \cdot \cos (α) \Rightarrow 0. 169 = \frac{\sin (2 α)}{2} \Rightarrow 2 α = \sin^{- 1} (0.339) \Rightarrow α = 0.17 r a d$

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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