Gooooooooll!!! Paraaaabólicooooo!!!

Enunciado

dificultad

Minuto 90 de juego... Lopera se acerca al balón para lanzar un libre directo a 40 metros exactos de la portería, da dos pasos hacia atrássss y lanzaaaa. El balón describe una trayectoria parabólica y sale con una elevación de 20º... y ¡¡¡¡¡GOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡GOOOOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡El balón entra por la escuadra a 1.70 metros de altura!!!. Tras oir esta emisión en la radio, ¿sabrías responder a las siguientes preguntas?

a) Desde que Lopera chuta y marca el gol, ¿cuánto tiempo ha transcurrido y a qué velocidad salió el balón desde las botas de Lopera?
b) ¿Qué altura máxima alcanzó el balón?
c) ¿Con qué velocidad llegó el balón a la portería?

Solución

Cuestión a)

El instante en el que el balón llega a la portería x=40 m e y=1.7 m. Sustituyendo en las ecuaciones de la posición del movimiento parabólico:

$\begin{array}{r} x = v_{0} \cdot \cos (α) \cdot t \\ y = v_{0} \cdot \sin (α) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} \end{array}\} \Rightarrow \begin{array}{r} 40 = v_{0} \cdot \cos (20) \cdot t \\ 1.7 = v_{0} \cdot \sin (20) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^{2} \end{array}\} \Rightarrow \begin{array}{r} 40 = v_{0} \cdot 0.94 \cdot t \\ 1.7 = v_{0} \cdot 0.34 \cdot t - 4.9 \cdot t^{2} \end{array}\} \Rightarrow \begin{array}{r} t = 1.61 s \\ v_{0} = 26.36 \frac{m}{s} \end{array}\}$

Cuestión b)

Cuando la componente y de la velocidad (v_y) sea 0 entonces quiere decir que estaremos en el punto más alto de la parábola. Recuerda que comienza a ascender y su velocidad en el eje y va disminuyendo hasta que se anula y comienza a ser negativa para descender.

$v_{y} = v_{0 y} - g \cdot t \Rightarrow v_{y} = v_{0} \cdot \sin (α) - g \cdot t \Rightarrow 0 = 26.36 \frac{m}{s} \cdot \sin (20 º) - 9.8 \frac{m}{s^{2}} \cdot t \Rightarrow t = \frac{9.05 \frac{m}{s}}{9.8 \frac{m}{s^{2}}} \Rightarrow t = 0.92 s$

Ahora ya estamos en condiciones, aplicando la ecuación de posición en el eje y, y sustituyendo por el instante que hemos obtenido, de determinar la altura máxima alcanzada:

$y = H + v_{0 y} \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^{2} \Rightarrow y = 0 + 26.36 \cdot \sin (20) \cdot (0.92) - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot {(0.92)}^{2} \Rightarrow \Rightarrow y = 4.14 m$

Cuestión c)

Sabiendo que el balón llegó a la portería en 1.61 s, su velocidad se obtiene:

$v_{x} = 26.36 \cdot \cos (20) = 24.77 \frac{m}{s} v_{y} = 26.36 \cdot \sin (20) - 9.8 \cdot 1.61 = - 6.76 \frac{m}{s} v = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}} = \sqrt{(24.77)^{2} + (- 6.76)^{2}} = 25.67 \frac{m}{s}$

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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