Altura de objetos a partir de vara y sombra

Datos

• Longitud de la sombra de la pirámide: l_{sombra pirámide}=55.3m
• Longitud de la sombra de la vara l_{sombra vara}=0.5m
• Altura de la vara h_vara=1.32m
• Altura de la pirámide h_pirámide = ?

Consideraciones previas

Resulta de utilidad hacer una representación de la situación.

Calcula de altura a partir de triángulos semejantes

A cualquier hora del día podemos considerar que los rayos de sol que llegan a dos objetos suficientemente próximos son paralelos. Así pues, los dos triángulos formados por la pirámide y el bastón, sus respectivas sombras y los rayos de sol, son semejantes. La forma más inmediata de verificarlo es comprobar que los tres ángulos son iguales (recuerda verificar los criterios de semejanza si te quedan dudas al respecto). Hemos representado estos triángulos en rojo y en naranja, indicando todas las magnitudes sobre ellos.

Se trata pues de resolver la altura del triángulo rojo. Ten presente que es posible utilizar este método para calcular la altura de cualquier objeto, como un árbol o un edificio, sin tener que medirlo directamente.

Resolución

Cuando dos triángulos son semejantes, entre ellos aparece una razón de semejanza k tal que:

$$\frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}=k$$

Siendo a, b y c, los lados de un triángulo y a', b' y c' los lados homólogos de su triángulo semejante. Aplicando esto a nuestro caso, nos queda:

$$\begin{array}{c}\frac{{\displaystyle h_{\text{pirámide}}}}{{\displaystyle h_{\text{vara}}}}=\frac{{\displaystyle l_{\text{sombra pirámide}}}}{{\displaystyle l_{\text{sombra vara}}}}\Rightarrow \\ \Rightarrow h_{\text{pirámide}}=h_{\text{vara}}\underset{k}{\underbrace{\frac{{\displaystyle l_{\text{sombra pirámide}}}}{{\displaystyle l_{\text{sombra vara}}}}}}=1.32\frac{55.3}{0.5}=145.99m\end{array}$$

Por tanto, la altura de la pirámide era de, aproximadamente, 146m.