Dominio de funciones logarítmicas

Consideraciones previas

El dominio de una función logarítmica está formado por el conjunto de los reales que hacen su argumento a(x) (lo que hay dentro del logaritmo) mayor que cero, independientemente de la base. En ese sentido, el procedimiento en todas los casos será similar: resolver la inecuación a(x)>0. En todos los casos del ejercicio el argumento es un polinomio. Ya hemos visto como podemos resolver unas inecuaciones similares, con los mismos polinomios, en el ejercicio dedicado al cálculo del dominio en funciones con raíces. En aquel caso, la inecuación tenía un signo ≥. La diferencia en este caso es que los extremos de los intervalos no se incluyen en el dominio, ya que en ellos el argumento se anula (y el logaritmo de cero no existe). 

Pondremos simplemente los resultados. Si quieres saber como factorizar los polinomios, visita el ejercicio señalado.

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=\ln \left(x+1\right)}$$

$$x+1>0\Rightarrow Do{m}_f=(-1,\infty )$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\log \left(1-x\right)}$$

$$1-x>0\Rightarrow Do{m}_f=(-\infty ,1)$$

$$\boxed{f\left(x\right)={\log }_2\left(3x-2\right)}$$

$$3x-2>0\Rightarrow Do{m}_f=(2/3,\infty )$$

$$\boxed{f\left(x\right)={\log }_5\left(-3x^2+5x-2\right)}$$

$$-3x^2+5x-2>0\Rightarrow Do{m}_f=(2/3,1)$$

$$\boxed{f\left(x\right)={\log }_{\mathrm{\pi }}\left(3x^2-5x+2\right)}$$

$$3x^2-5x+2>0\Rightarrow Do{m}_f=(-\infty ,2/3)\cup (1,\infty )$$

$$\boxed{f\left(x\right)={\log }_e\left(x^2-9\right)}$$

$$x^2-9>0\Rightarrow Do{m}_f=(-\infty ,-3)\cup (3,\infty )$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\log \left(x^2+3x\right)}$$

$$x^2+3x>0\Rightarrow Do{m}_f=(-\infty ,-3)\cup (0,\infty )$$

$$\boxed{f\left(x\right)={\log }_{128}\left(2x^3+14x^2+8x-24\right)}$$

$$2x^3+14x^2+8x-24>0\Rightarrow Do{m}_f=(-6,-2)\cup (1,\infty )$$