Dominio de funciones a trozos

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}2x^2+3& \text{si}& x<1\\ \frac{1}{x-3}& \text{si}& x>1\end{array}\right.}$$

En primer lugar buscamos los valores para los que está definida cada rama. Vemos que la primera abarca todos los x menores que uno. La segunda abarca todos los x mayores que uno. Sin embargo en ninguna rama está presente el valor x=1. Este será el primer valor a quitar del dominio.

Por otro lado, estudiamos los puntos problemáticos de cada rama. La primera rama es un polinomio de segundo grado que no presenta ningún problema.La segunda rama es una función racional en la que debemos eliminar del dominio aquellos valores que anulan el denominador, si se encuentran en la rama.

$$x-3\ne 0\Rightarrow x\ne 3$$

En definitiva, el dominio de la función queda:

$$Do{m}_f=(-\infty ,1)\cup (1,3)\cup (3,\infty )=\mathrm{ℝ}-\left\{1,3\right\}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x+2}{2-x}& \text{si}& x<2\\ 1& \text{si}& x=3\\ \sqrt{x-10}& \text{si}& x>4\end{array}\right.}$$

En este caso el conjunto de valores para los cuales está definida la función es un poco más complejo de expresar veámoslo:

$$(-\infty ,2)\cup (4,\infty )+\left\{3\right\}$$

Ahora, estudiando los puntos problemáticos de cada rama, determinamos si hay que quitar más valores de x al conjunto anterior para encontrar el dominio final. La primera rama es una función racional de la que tenemos que quitar aquellos valores que anulan el denominador:

$$2-x\ne 0\Rightarrow x\ne 2$$

Sin embargo, el 2 no está en la primera rama, con lo que no hay que restringir nada. La segunda rama, por otra parte, es una constante que no presenta problemas. Finalmente, la tercera rama es una raíz cuadrada. Como en todas las raíces de índice pagar, debemos quedarnos solamente con aquellos valores que hagan el radicando mayor igual que cero:

$$x-10\ge 0\Rightarrow x\ge 10$$

Como la última rama comienza en x>4, debemos quitar los valores hasta el 10. Así, el dominio final queda:

$$Do{m}_f=(-\infty ,2)\cup [10,\infty )+\left\{3\right\}$$