Gráficas de funciones a trozos

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3& \text{si}& x<0\\ 3-x& \text{si}& 0\le x<6\\ -3& \text{si}& x>6\end{array}\right.}$$

La primera y la tercera rama son funciones constantes, la segunda una función lineal. Comenzamos con 3 tablas de valores, una para cada rama. Recuerda que la taba de cada rama siempre debe incluir el valor del extremo o de los extremos de la misma.

A partir de los datos de estas tres tablas, hacemos la representación gráfica:

Obseva, en la gráfica anterior, que hemos utilizado un color distinto para cada rama. Observa también lo que ocurre en x=0 y en x=6. Son los extremos de las ramas. En x=0 la primera rama no tiene incluido el punto, pero si lo tiene la segunda, con lo que ese punto se podría representar con un trazo continuo. En x=6 ambas ramas presentan el extremo abierto, con lo que el punto no está incluido. La siguiente gráfica sería la representación final:

En cuanto al estudio de esta primera función, tenemos:

• Dominio: $Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{6\right\}$
• Recorrido: $Re{c}_f=[-3, 3]$
• Ceros: x=3
• Signo
  • Intervalos de signo positivo: $x\in (-\infty ,3)$
  • Intervalos de signo negativo: $x\in (3,\mathrm{\infty })$
• Monotonía: La función es decreciente en todo su dominio, esto es, $x\in \mathrm{ℝ}-\left\{6\right\}$ Observa que el único intervalo estrictamente decreciente es $x\in (0, 6)$.
  • Máximos y mínimos: ∄
• Curvatura: La función es lineal en todos sus tramos. Las funciones lineales son cóncavas o convexas, pues cumplen ambas condiciones. No existen puntos de inflexión, pues la curvatura es siempre la misma en todo el dominio.
• Acotación: La función está acotada superior e inferiormente.
  • Supremo: y=3
  • Ínfimo: y=-3
• Simetría: La función no es simétrica respecto al eje y ni respecto al origen
• Periodicidad: La función no es periódica

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2-2x+2& \text{si}& x<1\\ -x^2+2& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.}$$

Ambas ramas son parábolas. Seguimos el mismo procedimiento, tabla de valores y gráfica. En este caso, buscaremos el vértice de cada parábola, a fin de ayudarnos en su representación. Ten presente que dicho vértice no tiene por qué estar necesariamente en la rama.

Como puedes observar en la tabla anterior, en esta primera rama coincide el vértice con el extremo de la rama.

En esta segunda tabla el vértice queda fuera del rango de la rama ( x=0 no pertenece al subconjunto x≥1 para el cual está definida). Ahora ya estamos en condiciones de hacer la representación gráfica:

Y en cuanto a las características de la función:

• Dominio: $Do{m}_f=\mathrm{ℝ}$
• Recorrido: $Re{c}_f=\mathrm{ℝ}$
• Ceros: Se observa en la gráfica que se produce en la segunda rama, con lo que $0=-x^2+2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}\Rightarrow x=\sqrt{2}$ (hemos eliminado la raíz negativa por no encontrarse en la segunda rama)
• Signo
  • Intervalos de signo positivo: $x\in (-\infty ,\sqrt{2})$
  • Intervalos de signo negativo: $x\in (\sqrt{2}, \infty )$
• Monotonía: La función es estrictamente decreciente en todo su dominio.
  • Máximos y mínimos: ∄
• Curvatura: Tal y como hemos visto en el apartado asociado, si imaginas la recta tangente tenemos que la primera rama es convexa y la segunda es cóncava, con lo que:
  • Concavidad: $x\in (1, \infty )$
  • Convexidad: $x\in (-\infty , 1)$
  • Puntos de inflexión: x=1
• Acotación: La función no está acotada, con lo que no tiene supremo ni ínfimo
• Simetría: La función no es simétrica respecto al eje y ni respecto al origen
• Periodicidad: La función no es periódica

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1/x& \text{si}& x<0\\ 0& \text{si}& x=0\\ 1/x& \text{si}& x>0\end{array}\right.}$$

En este caso se trata de una función racional para la primera y la tercera rama, y un valor constante para la segunda rama, que es un único punto. Veamos las tablas de valores para la primera y la tercera rama:

Vemos que la función racional no está definida en el cambio de rama que hay en x=0. Se trata del valor que anula el denominador de 1/x. En cualquier caso nos hemos asegurado de dar valores suficientes para hacer la representación.

Y en cuanto a las características de la función:

• Dominio: $Do{m}_f=\mathrm{ℝ}$
• Recorrido: $Re{c}_f=\mathrm{ℝ}$
• Ceros: El único cero es x=0
• Signo
  • Intervalos de signo positivo: $x\in (0, \infty )$
  • Intervalos de signo negativo: $x\in (-\infty , 0)$
• Monotonía: La función es decreciente en $x\in (-\infty ,0)\cup \left(0, \infty \right)$
  • Máximos y mínimos: ∄
• Curvatura:
  • Concavidad: $x\in (-\infty ,0)$
  • Convexidad: $x\in (0, \infty )$
  • Puntos de inflexión: ∄. Aunque a la izquierda de x=0 la función es cóncava y a la derecha es convexa, la función no es continua en x=0 y por tanto no pasa de cóncava a convexa ni de convexa a cóncava en ese punto
• Acotación: La función no está acotada, con lo que no tiene supremo ni ínfimo
• Simetría: La función es simétrica respecto al origen pues f(-x)=-f(x)
• Periodicidad: La función no es periódica

$$\boxed{f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x+4& \text{si}& -3\le x\le -1\\ x-4& \text{si}& 1\le x\le 3\end{array}\right.}$$

Se trata de dos ramas lineales, con la particularidad en este caso de tener cada una subdominios acotados. Vamos a las tablas de valores:

Que sobre los ejes coordinados queda:

Podemos describir la función con los siguientes parámetros:

• Dominio: $Do{m}_f=[-3, -1]\cup [1, 3]$
• Recorrido: $Re{c}_f=[-3, -1]\cup [1, 3]$
• Ceros: ∄
• Signo
  • Intervalos de signo positivo: $x\in [-3, -1]$
  • Intervalos de signo negativo: $x\in [1, 3]$
• Monotonía: La función es creciente en $x\in (-3, -1)\cup (1, 3)$
  • Máximos:
    • Absoluto: Max₁=(-1, 3)
    • Relativo: max₁=(3, -1)
  • Mínimos:
    • Absoluto: Min₁=(1, -3)
    • Relativo: min₁=(-3, 1)
• Curvatura: La dos ramas de la función son lineales, que cumplen tanto la definición de concavidad como la de convexidad. No hay puntos de inflexión.
• Acotación: La función está acotada superior e inferiormente
  • Supremo: y=3
  • Ínfimo: y=-3
• Simetría: La función es simétrica respecto al origen pues f(-x)=-f(x)
• Periodicidad: La función no es periódica