Suma y resta de funciones

Consideraciones previas

Recuerda, el elemento simétrico de una función respecto a la suma es simplemente su función opuesta, pues al sumarse se obtiene el elemento neutro que en la suma es la función f(x) = 0, tal y como hemos visto en el apartado asociado.

Resolución

Apartado 1

$$\begin{gathered} \left(f+g\right)\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{x+2}{x-1}=\frac{x-1+x\left(x+2\right)}{x\left(x-1\right)}=\frac{x^2+3x-1}{x^2-x} \\ \left(f-g\right)\left(x\right)=\frac{1}{x}-\frac{x+2}{x-1}=\frac{-x^2-x-1}{x^2-x} \end{gathered}$$

Los dominios:

$$\begin{array}{c}Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}\\ Do{m}_g=\mathrm{ℝ}-\left\{0, 1\right\}\end{array}\Rightarrow Do{m}_{f+g}=Do{m}_{f-g}=Do{m}_f\cap Do{m}_g=\mathrm{ℝ}-\left\{0,1\right\}$$

Los opuestos:

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{1}{x}\\ g\left(x\right)=\frac{x+2}{x-1}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}-f\left(x\right)=-\frac{1}{x}\\ -g\left(x\right)=-\frac{x+2}{x-1}\end{array}$$

Apartado 2

$$\begin{gathered} \left(f+g\right)\left(x\right)=\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x} \\ \left(g-f\right)\left(x\right)=\sqrt{2-x} - \sqrt{x+2} \end{gathered}$$

Los dominios:

$$\begin{array}{c}Do{m}_f=[-2,\infty )\\ Do{m}_g=(-\infty ,2]\end{array}\Rightarrow Do{m}_{f+g}=Do{m}_{f-g}=Do{m}_f\cap Do{m}_g=[-2,2]$$

Los opuestos:

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\sqrt{x+2}\\ g\left(x\right)=\sqrt{2-x}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}-f\left(x\right)=-\sqrt{x+2}\\ -g\left(x\right)=-\sqrt{2-x}\end{array}$$

Apartado 3

$$\left(f+g\right)\left(x\right)=\sqrt{\frac{2x}{3}+1}+\ln \left(-x-2\right)$$

Los dominios:

$$\begin{array}{c}Do{m}_f=[-3/2,\infty )\\ Do{m}_g=(-\infty ,-2)\end{array}\Rightarrow Do{m}_{f+g}=Do{m}_{f-g}=Do{m}_f\cap Do{m}_g=\varnothing$$

Este resultado implica que la función (f+g)(x) no existe, al no existir ningún valor que tenga imagen.

Los opuestos:

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2x}{3}+1}\\ g\left(x\right)=\ln \left(-x-2\right)\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}-f\left(x\right)=-\sqrt{\frac{2x}{3}+1}\\ -g\left(x\right)=-\ln \left(-x-2\right)\end{array}$$

Apartado 4

$$\left(f+g\right)\left(x\right)=\frac{x-1}{x}+\frac{-x+1}{x}=0$$

Los dominios:

$$\begin{array}{c}Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}\\ Do{m}_g=\mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}\end{array}\Rightarrow Do{m}_{f+g}=Do{m}_f\cap Do{m}_g=\mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}$$

Observa que, a la luz de la función suma simplificada, (f+g)(x)=0, podríamos concluir que el dominio es ℝ. Sería un error, pues el dominio de la suma es siempre la intersección de los dominios de ambas funciones.

Los opuestos:

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{x-1}{x}\\ g\left(x\right)=\frac{-x+1}{x}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}-f\left(x\right)=-\frac{x-1}{x}=\frac{-x+1}{x}\\ -g\left(x\right)=-\frac{-x+1}{x}=\frac{x-1}{x}\end{array}$$