Producto de funciones

Resolución

$$\left(f·g\right)\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}·\frac{x^2-4}{x^2+4}=\frac{x-2}{x+2}·\frac{\stackrel{a^2-b^2=\left(a+b\right)·\left(a-b\right)}{\overbrace{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}}}{\left(x^2+4\right)}=\frac{{\left(x-2\right)}^2}{x^2+4}$$

El dominio:

$$\begin{array}{c}Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{-2\right\}\\ Do{m}_g=\mathrm{ℝ}\end{array}\Rightarrow Do{m}_{f·g}=Do{m}_f\cap Do{m}_g=\mathrm{ℝ}-\left\{-2\right\}$$

Es muy importante que, tras la simplificación, no caigas en la tentación de recalcular el dominio de f·g, diciendo que es ℝ. El dominio es la intersección de los dominios de f y g.

Por otro lado, ya sabes que el recíproco multiplicativo es el elemento simétrico de cada función. Se puede calcular según:

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}\\ g\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x^2+4}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}\frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{x+2}{x-2} ;\hspace{0.17em}Do{m}_{\frac{1}{f}}=\mathrm{ℝ}-\left\{-2, 2\right\}\\ \frac{1}{g\left(x\right)}=\frac{x^2+4}{x^2-4} ;\hspace{0.17em}Do{m}_{\frac{1}{g}}=\mathrm{ℝ}-\left\{-2, 2\right\}\end{array}$$

Observa que es necesario especificar el dominio de estas funciones, siendo este el mismo de las funciones originales al que hemos quitado los elementos que las hacen cero (que por consiguiente hacen cero el denominador de las funciones recíprocas).