Asíntotas a partir de gráficas de funciones

Consideraciones previas

Recuerda que las asíntotas verticales tienen por ecuacion x=k, las horizontales y=k y las oblicuas y=k·x+b. Se trata, simplemente, de identificar las asíntotas en las gráficas y buscar su ecuación asociada.

Resolución

1.-

La primera función presenta 2 asíntotas, una horizontal y otra vertical. Sus ecuaciones se obtienen de manera inmediata, viendo el punto de corte con el eje y y x respectivamente.

Asíntota hozirontal: y=2

Asíntota vertical: x=2 

2.-

En este caso comenzamos por la asíntota oblicua, que es la más evidente. Sabemos que la ecuación explícita de una recta viene dada en la forma y=k·x+b. Observando la gráfica podemos identificar 2 puntos cualesquiera, por ejemplo:

$$\begin{gathered} \left(0,0\right)\Rightarrow 0=k·0+b\Rightarrow \boxed{b=0} \\ \left(2,1\right)\Rightarrow 1=k·2+b\underset{b=0}{\Rightarrow }\boxed{k=\frac{1}{2}} \end{gathered}$$

Con lo que la ecuación de la asíntota oblicua nos queda y=x/2. Por otro lado, observando la gráfica se puede plantear la cuestión de si x=0 es una asíntota. Si no lo fuese, la rama se prolongaría a la derecha del eje y, pero entonces no habría una rama por encima y una rama por debajo de la asíntota oblícua, y eso no sería una función (recuerda que a cada valor de x le puede corresponder un único valor de y como máximo). Por tanto, x=0 es una asíntota vertical. En definitiva:

Asíntota oblicua: y=x/2

Asíntota vertical: x=0 

3.-

Las asíntotas horizontal y vertical son inmediatas, para el cálculo de la oblicua nos queda:

$$\begin{gathered} \left(0,-3\right)\Rightarrow -3=k·0+b\Rightarrow \boxed{b=-3} \\ \left(3,0\right)\Rightarrow 0=k·3+b\underset{b=-3}{\Rightarrow }\boxed{k=1} \end{gathered}$$

Con lo que nos queda:

Asíntota hozirontal: y=0

Asíntota vertical: x=2 

Asíntota oblicua: y=x-3

4.-

Existe una sola asíntota oblicua que calculamos como hasta ahora:

$$\begin{gathered} \left(0,0\right)\Rightarrow 0=k·0+b\Rightarrow \boxed{b=0} \\ \left(1,-1\right)\Rightarrow -1=k·1+b\underset{b=0}{\Rightarrow }\boxed{k=-1} \end{gathered}$$

Con lo que queda:

Asíntota oblicua: y=-x