Teorema valores intermedios en función a trozos

Consideraciones previas

Para que una función tome todos los valores entre f(a) y f(b) ha de ser, según el teormea de los valores intermedios, continua en ese intervalo.

Resolución

En nuestro caso nos dicen que ha de tomar todos los valores entre f(-2) y f(1), por lo tanto ha de ser continua en el intervalo [-2, 1]. Como es una función definida a trozos estudiamos primero cada una de las dos ramas.

• Para valores de x negativos (rama 0>x), la función es un polinomio y por lo tanto continua para todo valor de la variable
• La segunda rama es la raiz cuadrada de un polinomio, que es también continua para todos los valores de la variable que pertenecen al domino de la función. En nuestro caso $-\sqrt{1-x}$ está definida para las x  de la rama 0≤x≤1

Por lo tanto sólo tendermos que estudiar la continuidad en el punto problemático, esto es, en x=0. Recordamos que una función es continua en  x=x₀ si:

$$\left\{\begin{array}{l}\exists f\left(x_0\right)\\ \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L\\ f\left(x_0\right)=L\end{array}\right.$$

Vamos a estudiar estas tres condiciones y vamos a imponer que se cumplan para que la función sea continua. Al imponer esas condiciones obtendremos una ecuación que nos permitirá calcular el valor de a pedido:

Primera condición: Ha de existir la función para x=0. Según vemos en el enunciado la función para x=0 viene definida por la función $-\sqrt{1-x}$. Por lo tanto f(0)=-1.

Segunda condición: Han de exisitir los límites por la izquierda y por la derecha de la función cuando la variable tiende a x=0. Para hacer el límite por la izquierda cogemos evidentemente la función tal como está definida a la izquierda:

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }-2 x^2-\frac{1}{2}x+a=a$$

Análogamente por la derecha:

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }-\sqrt{1-x}=-1$$

Para que ambos límites sean iguales y se cumplan las tres condiciones de continuidad ha de cumplirse a=-1. Para este valor de a=-1 la función f(0)=-1 y los dos límites valen igualmente -1. Por lo tanto a=-1 es la solución.