Potencial eléctrico variable

Datos

$V(x,y,z)=2x^{2}y+5x^{3}yz-2y^2{z}^2$

$\overrightarrow{E}(x,y,z)$?
$\overrightarrow{E}(1,0,1)$?

Resolución

Sabemos que:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{E}(x,y,x)=E_x·\overrightarrow{i}+E_y·\overrightarrow{j}+E_z·\overrightarrow{k} \Rightarrow \\ \overrightarrow{E}(x,y,x)=-\frac{\partial V}{\partial x}·\overrightarrow{i}-\frac{\partial V}{\partial y}·\overrightarrow{j}-\frac{\partial V}{\partial z}·\overrightarrow{k} \end{gathered}$$

Por tanto, vamos a derivar V sobre cada variable x, y y z, considerando para cada caso que el resto de variables son simples números. Por ejemplo, si derivamos V con respecto a x consideraremos que y y z son dos números más.

$$\begin{gathered} E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}=-\left(4·y·x+15·y·z·x^2\right) \\ {E}_y=-\frac{\partial V}{\partial y}=-\left(2x^2+5x^{3}z-4z^{2}y\right) \\ {E}_z=-\frac{\partial V}{\partial z}=-\left(5x^{3}y-4y^{2}z\right) \end{gathered}$$

Sustituyendo:

$$\boxed{\overrightarrow{E}(x,y,z)=\left(-4·y·x-15·y·z·x^2\right)·\overrightarrow{i}+\left(-2x^2-5x^{3}z+4z^{2}y\right)·\overrightarrow{j}+\left(-5x^{3}y+4y^{2}z\right)·\overrightarrow{k} N/C}$$

Y calculando el vector de intensidad del campo eléctrico en el punto A:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{E}(1,0,1)=\left(-4·0·1-15·0·1·1^2\right)·\overrightarrow{i}+\left(-2·1^2-5·1^3·1+4·1^2·0\right)·\overrightarrow{j}+\left(-5·1^3·0+4·0^2·1\right)·\overrightarrow{k}\Rightarrow \\ \boxed{\overrightarrow{E}(1,0,1)=-7·\overrightarrow{j}N/C} \end{gathered}$$