Trabajo realizado para desplazar una carga frente a un plano cargado

Datos

σ=2·10^-6 C/m2
ε₀ = 8.9·10^-12 C²/N·m2
r_A= 3 cm = 0.03 m
r_B = 9 cm = 0.09 m
Δr = r_B-r_A = 0.06 m 
q = -5 µC

Resolución

Cuestión a)

Considerando la expresión del campo eléctrico creado por una lámina de gran tamaño en sus proximidades tenemos que:

$$\begin{gathered} E=\frac{\sigma }{2·{\epsilon }_0} \Rightarrow \\ E=\frac{2·{10}^{-6}}{2·8.9·{10}^{-12}}\Rightarrow \\ \boxed{E=112359.6 N/C} \end{gathered}$$

Cuestión b)

El trabajo que realiza el campo eléctrico para trasladar la carga desde el punto A al punto B se obtiene por medio de la siguiente expresión:

$$W_e(A\to B) = Fe·\Delta r$$

Si aplicamos la definición de campo eléctrico, obtenemos que la fuerza eléctrica que experimenta cualquier carga cercana al plano es:

$$\begin{gathered} F=E·q \Rightarrow \\ F=\frac{\sigma ·q}{2·{\epsilon }_0} \end{gathered}$$

Por tanto:

$$W_e(A\to B) = \frac{q·\sigma ·\Delta r}{2·{\epsilon }_0}$$

Sustituyendo los valores que conocemos:

$$\begin{gathered} W_e(A\to B) = \frac{-5·{10}^{-6}·2·{10}^{-6}·0.06}{2·8.9·{10}^{-12}}\Rightarrow \\ \boxed{W_e(A\to B)=-0.03 J} \end{gathered}$$

Podemos observar que el trabajo realizado por el campo es negativo. Esto quiere decir que no sigue su movimiento natural. Si lo piensas bien, una carga negativa se debería desplazar hacia la placa (hacia una zona de mayor potencial) y sin embargo lo hace contrariamente, por tanto debe existir una fuerza externa que la mueva al revés. El trabajo realizado por dicha fuerza externa (Wf) es wf = -We. Por tanto:

$$\boxed{W_f(A\to B) = -W_e(A\to B) = 0.03 J}$$