Distancia inicial en lanzamiento horizontal

Enunciado

dificultad

Se ha declarado la cuarentena en un crucero de pasajeros debido a una intoxicación. Para ofrecer ayuda, la cruz roja envía un helicóptero con una caja llena de medicamentos. Dado que los tripulantes del helicóptero no deben acceder al barco, se decide lanzar el paquete sobre una colchoneta situada en el mismo.

Suponiendo que el crucero viaja a 72 km/h y que el helicóptero viaja en la misma dirección a 108 km/h y a una altura de 40 m, ¿a qué distancia horizontal del barco se deberá dejar caer el paquete? ¿Y si viajaran al encuentro el uno del otro, en sentidos contrarios?

Solución

Datos

Velocidad del barco: 72 km/h = 20 m/s
Velocidad del helicóptero: 108 km/h = 30 m/s

Consideraciones previas

El barco se mueve con movimiento rectilíneo uniforme
El paquete seguirá un movimiento de lanzamiento horizontal
Situaremos el origen del sistema de referencia a nivel del mar, en la vertical del helicóptero en el momento en que se deja caer el paquete
En ese momento, el barco se encuentra a una distancia x_0bque es justamente lo que piden calcular

A partir de las consideraciones señaladas, los datos del movimiento son:

Velocidad inicial del paquete en el eje x: v_0xp = 30 m/s
Velocidad inicial del paquete en el eje y: v_0yp = 0 m/s
Velocidad del barco en el eje x: v_0xp = 20 m/s
Altura inicial del paquete: y_0p = H = 40 m
Altura final del paquete: y_fp = 0 m
Valor de la aceleración de la gravedad g = 9.8 m/s²

Resolución

Las ecuaciones de cada movimiento se encuentran en la siguiente tabla. Observa el uso que hacemos del subíndice p y b para referirnos a las variables propias del paquete y del barco respectivamente.

	Movimiento del paquete	Movimiento del barco
Eje x	$x_{f_{p}} = x_{0_{p}} + v_{0 x_{p}} \cdot t$	$x_{f_{b}} = x_{0_{b}} + v_{0 x_{b}} \cdot t$
Eje y	$y_{f_{p}} = y_{o_{p}} + v_{0 y_{p}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}$ $v_{f y_{p}} = v_{0 y_{p}} - g \cdot t$	-

Observa que hemos seguido el convenio de signos en movimientos rectilíneos habitual.

La condición para que el paquete caiga en el barco es que las coordenadas x e y de ambos movimientos coincidan en ese instante t. Es decir:

$x_{f_{p}} = x_{f_{b}} y_{f_{p}} = y_{f_{b}} = 0$

Por tanto, fijándonos primero en la coordenada y, esta debe ser 0 ya que el punto de encuentro, en el barco, esta a nivel del mar. Así podemos determinar el tiempo que el primer cuerpo está en el aire.

$y_{f_{p}} = y_{o_{p}} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} \Rightarrow 0 = 40 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^{2} \Rightarrow t = 2.85 m / s$

Por otro lado, sabiendo que las coordenadas x también deben coincidir, determinamos la distancia horizontal a la que debe soltarse el paquete:

$x_{f_{p}} = x_{f_{b}} \Rightarrow v_{0 x_{p}} \cdot t = x_{0_{b}} + v_{0 x_{b}} \cdot t \Rightarrow x_{0_{b}} = t \cdot (v_{0 x_{p}} - v_{0 x_{b}}) = 2.85 \cdot (30 - 20)) = 28.5 m$

En cuanto a la segunda pregunta, qué pasaría si el barco y el helicóptero fuesen al encuentro (tuviesen sentidos opuestos), simplemente tenemos que cambiar el signo de v_0xb, pasando a valer v_0xb = -20 m/s. De esta manera cumplimos el criterio de signos señalado previamente.

$x_{f_{p}} = x_{f_{b}} \Rightarrow v_{0 x_{p}} \cdot t = x_{0_{b}} + v_{0 x_{b}} \cdot t \Rightarrow x_{0_{b}} = t \cdot (v_{0 x_{p}} - v_{0 x_{b}}) = 2.85 \cdot (30 - (- 20)) = 142.5 m$

Efectivamente, dado que el barco y el avión va uno al encuentro del otro, es necesario que el paquete se suelte a mayor distancia.

Un último apunte. Recuerda que lo que hemos calculado es la distancia horizontal entre el barco y el helicóptero en el momento en que se libera el paquete, es decir, la distancia entre el barco y la vertical en la que se encuentra el helicóptero en el momento en que se suelta el paquete. Si nos pidieran simplemente la distancia, deberíamos también tener en cuenta la coordenada y. Es decir:

$d = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Por tanto en el primer caso:

$d = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{28 . 5^{2} + 40^{2}} = 49.11 m$

En el segundo caso:

$d = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{142 . 5^{2} + 40^{2}} = 148.08 m$

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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