Ángulos
Convertir grados sexagesimales a radianes
Transforma los siguientes ángulos a radianes:
a) 40º 18' 36"
b) -120º 20' 13''
c) 75º 0º 20''
Transformar radianes a grados sexagesimales
Transforma los siguientes ángulos en radianes a grados sexagesimales:
a) 4.6 rad.
b) -2.7 rad
c) 1.3 rad
Reducir al primer giro grados sexagesimales
Calcular la reducción al primer giro de los siguientes ángulos:
a) 1236º.
b) -453º.
Reducir radianes al primer giro
Calcular la reducción al primer giro de los siguientes ángulos expresados en radianes:
a) 15π rad.
b) -7.2 rad.
Aplicación gráfica del concepto de radián
Calcula la medida en radianes de cada uno de los ángulos de la figura.
Aplicación de la definición de radián
Resuelve las siguientes cuestiones, de manera razonada, aplicando el concepto de radián:
- Una circunferencia tiene una longitud de 5π cm. ¿Qué longitud mide el arco de circunferencia asociado a un ánglo de π/3 rad?
- Una circunferencia tiene un radio de 2m. ¿qué longitud mide el arco de circunferencia asociado a un ánglo de 30º?
Tipos de ángulos
A partir de los siguientes ángulos...
- Determina el tipo de todos ellos, según las distintas clasificaciones propuestas
- A partir las rectas que delimitan el ángulo α, ¿qué ángulo concavo le correspondería?¿y para el ángulo ε?
- A partir las rectas que delimitan el ángulo γ, ¿qué ángulo convexo le correspondería?¿y para el ángulo θ?
- ¿Cómo son los ángulos α y ε según su suma?
- Sea ε'=2·ε, ¿cómo son los ángulos ε' y α según su suma?
- ¿Cómo son los ángulos α y δ según su suma?
- Dibuja α en una disposición en la que aparezca con otros 3 ángulos opuestos por el vértice, indicando la amplitud de cada uno de ellos
Triángulos Semejantes
Altura de objetos a partir de vara y sombra
Es posible determinar la altura de un objeto, sin medirlo directamente, a partir de la longitud de su sombra, y de una vara de longitud conocida. Para plantearte este ejercicio vamos a estudiar el enigma que los sacerdotes del antiguo Egipto formularon a Tales de Mileto:
¿Sabrías decir la altura de la pirámide de Keops?
Para descubrirla Tales midió la longitud de la sombra de la pirámide a una determinada hora del día, 55.3 m. Además, clavó en el suelo a esa misma hora su bastón, de 1.32m y vió que proyectaba una sombra de 0.5m. Con estos datos, ¿qué altura tenía la pirámide?
Teorema de Pitágoras
Determinar lados triángulo rectángulo por Pitágoras
Determina el lado desconocido en cada uno de los siguientes triángulos:
Saber si un triángulo es rectángulo
Determina si un triángulo de lados 7, 8 y 9 cm es rectángulo. ¿Y uno de lados 5, 12 y 13 m?
Área de triángulo equilátero
Determina el área del siguiente triángulo equilátero.
Área y perímetro a partir de triángulos rectángulos
Determina el área y el perímetro de la siguiente figura.
Ten presente que la distancia entre los dos puntos señalados es de 2 cm.
Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos
Razones trigonométricas a partir de triángulos rectángulos
Determina las razones indicadas en el ángulo α y β de los siguientes triángulos:
Razones trigonométricas a partir de la secante de un ángulo
Calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo α, sabiendo que sec α = 4.
Identidad fundamental de la trigonometría
Sabiendo que α es un ángulo agudo, completa la siguiente tabla:
| sin(α) | 0.32 | ||
| cos(α) | 0.23 | ||
| tan(α) | 1 |
Razones Trigonométricas de los Ángulos de 30º, 45º y 60º
Calcular a partir de las razones de 30º, 45º y 60º
Conociendo las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:
a) sen 1470º
b) cos 405º
c) tan 13π/3
Razones Trigonométricas de Cualquier Ángulo
Razones de un ángulo según su cuadrante
a) Calcular las razones trigonométricas de un ángulo α situado en el segundo cuadrante y cuyo cos α = -0.57
b) Repite el ejercicio suponiendo ahora que α está situado en el tercer cuadrante
Determinar ángulo a partir de su razón
Utiliza la calculadora para determinar el ángulo alfa en cada uno de los siguientes casos:
- sin(α)=0.58 con α en primer cuadrante
- sin(α)=0.58 con α en segundo cuadrante
- cos(α)=-0,34 con α>180º
- tan(α)=1.5 con cos(α)<0
Identidades Trigonométricas
Seno, coseno y tangente sin utilizar calculadora (suma ángulos)
Determina el seno, coseno y tangente de 105º sin utilizar la calculadora.
Seno, coseno y tangente sin utilizar calculadora (resta ángulos)
Determina el seno, coseno y tangente de 15º sin utilizar la calculadora.
Cálculo de cosecante sin calculadora
a) Calcula cosec 120º sin utilizar la calculadora.
Cálculo de cotangente sin calculadora
a) Calcula cotg 22º 30' sin utilizar la calculadora.
Cálculo de suma de cosenos
Calcula cos 75º + cos 15º sin utilizar la calculadora.
Cálculo de resta de cosenos
Calcula cos 75º - cos 15º sin utilizar la calculadora.
Cálculo del producto de dos senos
Calcula sin 52.5º · sin 7.5º sin utilizar la calculadora.
Cálculo de seno por coseno de un ángulo
Calcula cos 45º · sin 15º sin utilizar la calculadora.
Aplicación identidades trigonométricas
De un ángulo 𝛼 se conoce que sin(𝛼)=0.57 y que π/2<𝛼<π. De otro ángulo 𝛽 se sabe que cos(𝛽)=-0.34 y que π <𝛽< 3π/2. Calcula, sin utilizar calculadora:
- cos(2𝛼)
- sin(𝛼/2)
- tan(𝛼+𝛽)
Teorema del Seno, Coseno y Tangente
Teorema del seno
Dado un triángulo cualquiera, si sabemos que c = 50 cm, determinar C, a y b.
Teorema del coseno
Dos hombres recorren 10 km partiendo desde un mismo cruce y siguiendo dos caminos rectos en el mismo sentido que forman 30º entre ellos. ¿A qué distancia en línea recta se encontraran uno del otro al terminar la caminata?
Teorema de la tangente
Dado el triángulo ABC de la figura determinar el valor de c y el de
Resolución de Triángulos
Resolución de triángulos rectángulos
En los siguientes apartados describimos situaciones en las que deberás aplicar tus conocimientos de trigonometría. Resuelve los triángulos planteados.
Juán tiene un problema en el cuello y no puede levantarlo un ángulo mayor de 30º. ¿Cuál será la distancia mínima a la que deberá situarse de la base de un edificio de 60m de alto para poder ver qué está pasando en la azotea? Ten presente que Juan va equipado con prismáticos.
Una estación de emisión de ondas de alta frecuencia tiene una potencia tal que es capaz de conseguir que sus ondas se propaguen hasta 15km de distancia. El ángulo máximo de emisión, medido entre la propia torre de la emisora y la onda emitida es de 87º. ¿Será capaz un coche con receptor situado a 14.95 km de la horizontal de la torre de recibir la señal sin problemas?
Estrategia de la altura para resolver triángulos
Resuelve las dos situaciones siguientes aplicando la estrategia de la altura para la resolución de triángulos:
-
Alba viaja en el coche azul de la figura, con un depósito de gasolina algo escaso. Cuando apenas le queda depósito para recorrer 31 km el policía de la figura le corta el paso, debido a un accidente, y lo redirige a una ruta alternativa. Determina, a partir de los siguientes datos, si Alba llegará a su destino antes de que se vacía su depósito:
- Distancia agente-gasolinera: 30 km
- Ángulo de desvío impuesto por el agente (marcado en naranja): Distancia agente-gasolinera: 40º
- Ángulo de llegada al camino principal después del desvío (marcado en verde): 20º
Observa la siguiente escena (tranquilo, no hemos tenido que maltratar a ningún dragón para la fotografía):
Euclides, de negro, y René, de azul, intentan contener al dragón Albert a la vez que tratan de adivinar su altura. La cadena que sostiene René es de 7.7m y la que sostiene Euclides es de 5.7m. Además, Euclides sabe que el ángulo que forma la cadena con el suelo, marcado en naranja, es de 40º. ¿Podrías echarles una mano a nuestros intrépidos amigos con el asunto de la altura? Y ya que te aplicas... ¿podrías decirme qué distancia separa las dos piedras?
Cálculo de alturas a partir de ángulos de dos visuales
Se quiere medir la altura de la palmera de la imagen. Para ello David, que tiene sus ojos a 1.75 m aproximadamente, se sitúa a cierta distancia de la palmera, y mide un ángulo de 58º al mirar a la cima de la misma. Luego se aleja 2m y mide un ángulo de 48.81º. ¿Cuál es la altura de la palmera?
Altura de torre con punto de observación bajo la misma
El bueno de Mario está intentando calcular la altura de la torre del castillo para poder saltar a ella. ¿Podrías echarle una mano a partir de las anotaciones que ha hecho?
Resolver paralelogramo a partir de diagonales
Las diagonales de un palalelogramo se cruzan formando un ángulo de 65º. Halla los lados y los ángulos del paralelogramo sabiendo que las diagonales miden 10 cm y 20 cm.
Ecuaciones Trigonométricas
Ecuación trigonométrica en radianes
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica en radianes.
Ecuación trigonométrica con seno
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica en grados sexagesimales y radianes.
Ecuación trigonométrica con resultado en grados sexagesimales
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica en grados sexagesimales.
Transformaciones en ecuaciones trigonométricas
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas a través de las transformaciones que consideres oportundas:
Sistemas de ecuaciones trigonométricas
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas:
Resolución de ecuaciones trigonométricas
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: